Direccion de un vector en el plano

Vamos a explicar como se calculo la dirección de un vector.

Llamamos dirección al ángulo que tiene el vector respecto su sistema de coordenadas.

Cálculo del módulo y la dirección a partir de sus componentes en el plano

Sea el vector S, cuyas componentes x e y son respectivamente a, b, nos muestra un triángulo rectángulo donde las componentes son sus catetos, y el módulo de S la hipotenusa.
Ya vimos como calcular el módulo de un vector, ahora veremos como calcular el ángulo θ

Para ello debemos recordar algo de trigonometría, de momento nos centraremos en la tangente, el cual como muestra la fórmula, es el cociente entre la componente y, con la componente x.

De este cociente, obtenemos la tangente de θ, pero no θ, para ello debemos recurrir a la función inversa de la tangente, que es la arcotangente. En la calculadora se expresa como tan ^-1

θ = arctag b/a

Para un vector v(10, 4),
tan θ = 4/10
θ = tan ^-1(4/10)
θ = 21,8º

Ver otros ejemplos en el video

Expresión analítica de un vector en el plano

La expresión analítica de un vector se escribe en a partir de los vectores unitarios del sistema de coordenadas.

Vectores unitarios cartesianos - plano

Dado el vector v(vx,vy) podemos expresarlo analiticamente como vxî + vy^j

asi el vector a (2,1) se expresaría como 2i + j

Nota importante, i, j , como las letras asignadas como vector deben ir con flecha encima, el problema es que con html no puede hacerse y no lo pongo.

a(1, -1)      i - j
b(3, 0)       3i ( la componente j es cero, no se escribe)

Ver ejemplos en mi canal YouTube

Operaciones con vectores en el plano

Vamos a comenzar describiendo la suma y resta con los vectores.

Para ambas operaciones cada componente se opera de forma independiente, es decir, que las componentes x de cada vector se opera, al igual que cada componente y.

(ax, ay) + (bx, by) = (ax+bx, ay+by)

(ax, ay) - (bx, by) = (ax-bx, ay-by)

Puedes ver algunos ejemplos en este video.

Suma y resta de dos vectores en el plano

V1, y V2 son dos vectores en el plano, representados en rojo. Gráficamente la suma es poner la base del vector V1 en la punta de flecha del vector V2, seguidamente, se traza un vector desde el origen o base del V2 hasta la punta del V1 que hemos movido.

Para la resta, el vector diferencia se desplaza desde la punta de V2 a la punta de V1.


Para el producto por un escalar, simplemente multiplicamos cada componente del vector por ese escalar.

k x (ax, ay) = (kax, kay)

Ver video explicativo

vectores unitarios en el plano

Sabiendo calcular el módulo de un vector, podemos calcular su vector unitario, el cual se caracteriza en tener la misma dirección, y sentido, pero con el módulo igual a 1.

Y la forma de calcularlos, es dividiendo cada componente del vector entre su módulo.

Definición de vector unitario

A la obtención del vector unitario se le llama "normalizar"

Para v (x,y), su vector unitario que también lo podemos expresar con la u = (x/|v|, y/|v|)

Ver ejemplos en el canal youtube

Modulo de un Vector en el plano

Vamos a ver como calcular el módulo de un vector a través de sus componentes. Aqui trataremos vectores en el plano XY, mas adelante veremos como se hace en el espacio.

Dado un vector v (x,y) donde x, y son sus componentes, el módulo lo calcularemos
 |v| = √(x² + y²) (la raiz cuadrada de sus componentes al cuadrado)

Vamos a calcular los siguientes ejemplos..  a(6,0), b(-2,3),c(-1,-2), d(1, -3)

Magnitudes escalares y vectoriales

¿Cual sería la diferencia entre una magnitud escalar y una vectorial?
Las magnitudes escalares las definimos con un escalar o valor, seguido de su unidad por supuesto, por ejemplo, el tiempo, longitud, masa, energia, con indicar la cantidad, lo definimos todo.

Con una magnitud vectorial, lo definimos con un vector, que aparte de tener un módulo que es su valor, tiene una dirección y un sentido.

La velocidad es un vector, su módulo seria el valor, la cantidad por ejemplo 25m/s , pero también debemos indicar hacia donde va, y eso lo definimos con la dirección y el sentido. La dirección es el ángulo respecto un sistema de coordenadas.

Representación de vectores en el plano (Módulo y dirección)

A, B, y C son fuerzas, lo sabemos porque sus módulos son 95N, 110N, 80N, N (Newtons) es la unidad de la fuerza.

También puede verse los ángulos o direcciones de los vectores, lo cual nos indica en que dirección y sentido se aplican las fuerzas.

Ejemplo de representación 

Notacion Cientifica

A la hora de definir número grandes o pequeños, resulta mas cómodo utilizar la notación científica, basada en los múltiplos de 10.



Ejemplos:
Por regla dejamos dos decimales.

0,000000124		1,24 x 10-7 (el exponente indica tantos ceros que hay delante)
0,000032		3,2 x 10-5
0,00000003		3 x 10-8
0,0045		4,5 x 10-3
0,00001		1 x 10-5
0,000000006		6 x 10-9
0,00789		7,89 x 10-3

Para números grandes, aplicaremos el exponente en positivo....

15000000		1,5 x 107 (el exponente indica tantos dígitos que hay despues del primer dígito)
45000		4,5 x 104
3450000		3,45 x 106
6470000000		6,47 x 109

Algunos conceptos matemáticos:

• si un valor en notación decimal pasa al denominador, podemos subirlo al numerador cambiando el signo del exponente.

1/1,5 x 10⁷ = 1,5 x 10^-7
1/1,3 x 10^-3  = 1,3 x 10³

• la multiplicación de potencias de 10, se suman los exponentes:

3,45 x 10⁶ x 6,47 x 10⁹ = (3,45 x 6, 47) x 10⁶⁺⁹ = (3,45 x 6, 47) x 10¹⁵

• la división de potencias de 10, se restan los exponentes:

 3,45 x 10⁶ / 6,47 x 10⁹ = (3,45 / 6, 47) x 10^6-9 = (3,45 / 6, 47) x 10^-3