Direccion de un vector en el plano

Vamos a explicar como se calculo la dirección de un vector.

Llamamos dirección al ángulo que tiene el vector respecto su sistema de coordenadas.

Cálculo del módulo y la dirección a partir de sus componentes en el plano

Sea el vector S, cuyas componentes x e y son respectivamente a, b, nos muestra un triángulo rectángulo donde las componentes son sus catetos, y el módulo de S la hipotenusa.
Ya vimos como calcular el módulo de un vector, ahora veremos como calcular el ángulo θ

Para ello debemos recordar algo de trigonometría, de momento nos centraremos en la tangente, el cual como muestra la fórmula, es el cociente entre la componente y, con la componente x.

De este cociente, obtenemos la tangente de θ, pero no θ, para ello debemos recurrir a la función inversa de la tangente, que es la arcotangente. En la calculadora se expresa como tan ^-1

θ = arctag b/a

Para un vector v(10, 4),
tan θ = 4/10
θ = tan ^-1(4/10)
θ = 21,8º

Ver otros ejemplos en el video

Expresión analítica de un vector en el plano

La expresión analítica de un vector se escribe en a partir de los vectores unitarios del sistema de coordenadas.

Vectores unitarios cartesianos - plano

Dado el vector v(vx,vy) podemos expresarlo analiticamente como vxî + vy^j

asi el vector a (2,1) se expresaría como 2i + j

Nota importante, i, j , como las letras asignadas como vector deben ir con flecha encima, el problema es que con html no puede hacerse y no lo pongo.

a(1, -1)      i - j
b(3, 0)       3i ( la componente j es cero, no se escribe)

Ver ejemplos en mi canal YouTube

Operaciones con vectores en el plano

Vamos a comenzar describiendo la suma y resta con los vectores.

Para ambas operaciones cada componente se opera de forma independiente, es decir, que las componentes x de cada vector se opera, al igual que cada componente y.

(ax, ay) + (bx, by) = (ax+bx, ay+by)

(ax, ay) - (bx, by) = (ax-bx, ay-by)

Puedes ver algunos ejemplos en este video.

Suma y resta de dos vectores en el plano

V1, y V2 son dos vectores en el plano, representados en rojo. Gráficamente la suma es poner la base del vector V1 en la punta de flecha del vector V2, seguidamente, se traza un vector desde el origen o base del V2 hasta la punta del V1 que hemos movido.

Para la resta, el vector diferencia se desplaza desde la punta de V2 a la punta de V1.


Para el producto por un escalar, simplemente multiplicamos cada componente del vector por ese escalar.

k x (ax, ay) = (kax, kay)

Ver video explicativo

vectores unitarios en el plano

Sabiendo calcular el módulo de un vector, podemos calcular su vector unitario, el cual se caracteriza en tener la misma dirección, y sentido, pero con el módulo igual a 1.

Y la forma de calcularlos, es dividiendo cada componente del vector entre su módulo.

Definición de vector unitario

A la obtención del vector unitario se le llama "normalizar"

Para v (x,y), su vector unitario que también lo podemos expresar con la u = (x/|v|, y/|v|)

Ver ejemplos en el canal youtube

Modulo de un Vector en el plano

Vamos a ver como calcular el módulo de un vector a través de sus componentes. Aqui trataremos vectores en el plano XY, mas adelante veremos como se hace en el espacio.

Dado un vector v (x,y) donde x, y son sus componentes, el módulo lo calcularemos
 |v| = √(x² + y²) (la raiz cuadrada de sus componentes al cuadrado)

Vamos a calcular los siguientes ejemplos..  a(6,0), b(-2,3),c(-1,-2), d(1, -3)

Magnitudes escalares y vectoriales

¿Cual sería la diferencia entre una magnitud escalar y una vectorial?
Las magnitudes escalares las definimos con un escalar o valor, seguido de su unidad por supuesto, por ejemplo, el tiempo, longitud, masa, energia, con indicar la cantidad, lo definimos todo.

Con una magnitud vectorial, lo definimos con un vector, que aparte de tener un módulo que es su valor, tiene una dirección y un sentido.

La velocidad es un vector, su módulo seria el valor, la cantidad por ejemplo 25m/s , pero también debemos indicar hacia donde va, y eso lo definimos con la dirección y el sentido. La dirección es el ángulo respecto un sistema de coordenadas.

Representación de vectores en el plano (Módulo y dirección)

A, B, y C son fuerzas, lo sabemos porque sus módulos son 95N, 110N, 80N, N (Newtons) es la unidad de la fuerza.

También puede verse los ángulos o direcciones de los vectores, lo cual nos indica en que dirección y sentido se aplican las fuerzas.

Ejemplo de representación 

Notacion Cientifica

A la hora de definir número grandes o pequeños, resulta mas cómodo utilizar la notación científica, basada en los múltiplos de 10.



Ejemplos:
Por regla dejamos dos decimales.

0,000000124		1,24 x 10-7 (el exponente indica tantos ceros que hay delante)
0,000032		3,2 x 10-5
0,00000003		3 x 10-8
0,0045		4,5 x 10-3
0,00001		1 x 10-5
0,000000006		6 x 10-9
0,00789		7,89 x 10-3

Para números grandes, aplicaremos el exponente en positivo....

15000000		1,5 x 107 (el exponente indica tantos dígitos que hay despues del primer dígito)
45000		4,5 x 104
3450000		3,45 x 106
6470000000		6,47 x 109

Algunos conceptos matemáticos:

• si un valor en notación decimal pasa al denominador, podemos subirlo al numerador cambiando el signo del exponente.

1/1,5 x 10⁷ = 1,5 x 10^-7
1/1,3 x 10^-3  = 1,3 x 10³

• la multiplicación de potencias de 10, se suman los exponentes:

3,45 x 10⁶ x 6,47 x 10⁹ = (3,45 x 6, 47) x 10⁶⁺⁹ = (3,45 x 6, 47) x 10¹⁵

• la división de potencias de 10, se restan los exponentes:

 3,45 x 10⁶ / 6,47 x 10⁹ = (3,45 / 6, 47) x 10^6-9 = (3,45 / 6, 47) x 10^-3

Conversion de Unidades II

Ejercicios para practicar en casa...


Primer apartado, cambio de una única unidad:
Grupo de ejercicios A
a) 106 cm a m
b) 567 ml a l
c) 34g a kg
d) 14 min a s

Segundo apartado, cuando la unidad está elevada a una potencia:
Grupo de ejercicios B
a) 160cm² a m²
b) 12 km² a cm²
c) 140 mm³ a m³
d) 168 m³ a l (nota l = dm³) El punto no me cupo en la hoja inicialmente, lo puedes ver desde aqui.

Tercer apartado, cuando son mas de una unidad que hay que convertir:

a) 180 km/h a m/s
b) 35 m/s a km/h
c) 1200 g/l a kg/cm³
d) 650 kg/cm³ a g/l

Conversion de Unidades

Vamos a dedicar este apartado a realizar conversiones de unidades simples y complejas, a través de ejemplos. Estos ejemplos estan disponibles en mi canal YouTube, para ver como se resuelve de una forma más dinámica, una imágen vale más que mil palabras.



a) 120 g convertir a kg
b) 130 km/h convertir a m/s
c) 1300 cm² convertir a m²
d) 160 cm³ convertir a m³
e) 1400 nm convertir a m
f) 1300 kg/m³ convertir a g/l

a) La unidad mayor toma siempre el valor 1, y la menor el valor relativo.
Para ver como se resuelve pinchame

Conversión para unidades de masa

b) En este caso la conversión es doble, hay que pasar Km a m y horas a segundos, y tener cuidado con la división  de fracciones, lo muestro con las flechas rojas y verdes.
Para ver como se resuelve pinchame

Conversión de unidades de velocidad

c) y d) Para pasa una unidad elevada a un potencia, también la equivalencia se eleva a esa potencia:
Ejercicio 3

Ejercicio 4

Conversión de unidades de área

Conversión de unidades de volúmen

e)
Ejercicio5

Conversión de unidades de longitud

f) Este último ejercicio requiere una especial atención, es conversión de dos unidades, pero tambien el volúmen lo podemos encontrar en unidades relativas al m³ o relativas al l (litro)

Lo mejor es hacer la conversión por  m³, y luego asignar directamente dm³ a l (litro), ya que un litro es igual a un decimetro cubico.

Partiremos por la conversión por  m³ a dm³

y despúes sustituimos dm³ por l
Ejercicio6

Conversión de unidades de densidad

Múltiplos y Submúltiplos

Continuaremos con el tema de las unidades, pera indicar las escalas en donde una magnitud puede moverse.

Si llamo "u" a la unidad básica, como múltiplos tenemos: dau, hu, ku
Por ejemplo para u = m (metros), 10m es un Decámetro (dam), 100m un hectómetro(hm), etc

Nombre	Simbolo	Potencia	valor
Deca	da	10	10
Hecto	h	102	100
Kilo	k	103	1000
Mega	M	106	1000000
Giga	G	109	1000000000
Tera	T	1012	1000000000000
Peta	P	1015	1000000000000000

En la física es normal usar hasta kilo, los prefijos Mega, Giga, Tera están mas acuñados en el mundo de la informática para definir velocidades del procesador, o capacidad del disco duro.

En la masa, no se suele decir Mg (megagramos) es decir 10⁶ gramos, o 1000 Kg, se aplica más el término tonelada métrica T

Para el caso de los submúltiplos....

Nombre	Simbolo	Potencia	valor
deci	d	10-1	0,1
centi	c	10-2	0,01
mili	m	10-3	0,001
micro	μ	10-6	0,000001
nano	n	10-9	0,000000001
pico	p	10-12	0,000000000001
femto	f	10-15	0,000000000000001

Ejemplos: 
Pasa las cantidades a su sistema internacional, para eso debemos tomar como "1" la unidad mayor, y a la menor el valor relativo a la unidad mayor.

a) 100 nm a m

m seria 1, y nm = 1000000000 ya que caben 1000 millones de nanometros en un metro


100 nm x ¹/_1000000000 x ^m/_nm  =  ¹⁰⁰/_1000000000 nm x m/_nm;  ¹/_10000000m  ;  0,000001m

como se ve el simbolo de nm se anula al estar en el numerador y denominador

b) 2 horas a segundos

asignaremos 1 a hora, y a segundos su valor relativo que seria 3600, ya que en una hora caben 3600s

2 h x ³⁶⁰⁰/₁ x s/h =  ^{2 x 3600}/₁ h x s/h;  ⁷²⁰⁰/₁ s  ; 7200s

c) 10000 mm a m

asignamos el valor 1 a m, y 1000 a mm.

10000 mm x ¹/₁₀₀₀ x ^m/_mm  =  ¹⁰⁰⁰⁰/₁₀₀₀ mm x m/_mm;   10m 

d) 45 T a kg

Asignamos 1 a T, y 1000 a Kg, en una tonelada hay 1000 kg

45 T x ¹⁰⁰⁰/₁ x ^Kg/_T  =  ⁴⁵⁰⁰⁰/₁ T x Kg /_T; 45000Kg

Unidades Fisicas del S.I (Sistema Internacional)

Empezaremos este viaje con vosotros, describiendo las unidades físicas en el Sistema Internacional. Es bastante importante conocerlas, y saber hacer conversiones, ya que la diferencia entre las matemáticas y la física, es que la primera juega con números de forma abstracta, y la física le dá un significado real a ese número.
un número 100 por si sólo no dice nada, pero cuando le añadimos la unidad física....

100g, 100km, 100km/h, 100cm ya sabemos que estamos hablando de una masa, una distancia, velocidad, etc

Indicamos las unidades más básicas en el S.I (Sistema Internacional)

Magnitud	Unidad	Simbolo Unidad
Longitud	Metro	m
Masa	Kilogramo	Kg
Tiempo	Segundo	s
Intensidad Eléctrica	Amperio	A
Intensidad Lumínica	Candela	Cd
Temperatura	Grados Kelvin	K
Cantidad de Sustancia	Mol	Mol